Ranko Artuković, Zadar, Croatia

 Patent No. 02-1712-29122000 HAA

Budite ozbiljni i ne čudite se sljedećem pitanju:

Da bi takvo što postigli moramo imati jako, jako dugačak konop. S obzirom na razvoj novih materijala , stvar postaje u skoro vrijeme i izvediva.

Kako sam došao na ovakvu ideju? Godine 1998. vozio sam se autom iz Zadra preko planinskog prijevoja Velebit prema Zagrebu. S desne strane ceste vidio sam ogromne sive stijene preko kojih su bile postavljene žice dalekovoda. Plavetnilo neba, sivilo stijena i žice potaknuli su me na razmišljanje. Kako bi bilo da žice stoje okomito....? Glupost, pomislio sam.
I tako je sve počelo...
Lutajući u svom “misaonom pokusu” došao sam na ovu zanimljivu ideju. Fizikalnim pristupom i jednadžbama kvantitativno sam opisao bitne stvari ovog problema. Rezultati i moguće primjene zaista su iznenađujući. Međutim, čekalo me je još jedno iznenađenje - saznao sam da su na istoj temi radili i drugi autori [1-9] . Rezultati do kojih sam došao, uvjerili su me u ispravnost fizikalnog puta, te da nisam usamljen u razmišljanju o nebeskim temama.

Ý Geostacionarni sateliti su tijela koja rotiraju u ekvatorijalnoj ravnini oko Zemlje na visini 35790 km iznad tla. Pošto rotiraju istom kutnom brzinom kao i Zemlja, sa Zemlje izgledaju nepomični. U ovom članku opisuje se vrlo duguljasti geostacionarni satelit - kabel koji dodiruje površinu Zemlje.

Neka imamo neku točku A koja miruje na tlu na Zemljinom ekvatoru. Povucimo radijalni pravac od središta Zemlje kroz točku A. Pošto je točka A nepomična, ovaj pravac bi rotirao zajedno sa Zemljom istom kutnom brzinom w ₀ kao što je kutna brzina Zemlje. Zbog toga u daljnjem tekstu ovaj pravac zovimo sinkrona os, a točku A objesište.

Na svaki djelić mase toga kabela djeluje gravitacijska sila, koja opada s kvadratom udaljenosti od Zemlje. Zbog rotacije sinkrone osi, pojavljuje se i centrifugalna sila. Ova sila raste linearno s dužinom kabela. Obje sile djeluju uzduž sinkrone osi, ali u suprotnim smjerovima. Koja sila će prevladati, ovisi o dužini kabela.

Ý Strogo moraju biti ispunjena oba sljedeća uvjeta:

• Vlak mora biti stalan i jednak na bilo kojem mjestu na kabelu
• Vlak mora biti manji od kritičnog vlaka

Posljedica toga je da se debljina mijenja kako se pomičemo uzduž kabela. Na ovaj način kabel je svugdje jednako opterećen i nigdje neće puknuti.

 Proračun debljine kabela (profil kabela)

Ý Veličina g(r) u formuli (1) je akceleracija koja djeluje na element kabela. Ona se mijenja s udaljenošću od središta Zemlje na sljedeći način:

 Prvi član s desne strane je gravitacijsko privlačenje Zemlje, a drugi član centrifugalno ubrzanje zbog vrtnje Zemlje. Treći član uključuje gravitacijsko djelovanje Mjeseca. U slučaju kada je Mjesec u liniji iznad objesišta uzimamo gornji predznak, a kada je Mjesec u liniji ispod objesišta uzimamo donji predznak.

Parametri u formuli (3) su:

Udaljenost od središta Zemlje je:

Ý Uvrštavanjem relacije (2) u (1) dobijemo sljedeću jednadžbu:

Neka D x ® 0 . Uzimajući u obzir (4) dobivamo sljedeću diferencijalnu jednadžbu:

koja nakon integracije daje rješenje:

Gravitacijsko djelovanje Mjeseca vrlo slabo će utjecati na profil kabela, pa taj član u gornjoj jednadžbi možemo zanemariti. Tako jednadžba poprima jednostavniji oblik:

Nakon uvrštavanja (4) u (8) dobijemo formulu za polumjer kabela:

Ova formula u potpunosti zadovoljava uvjet izražen jednadžbom (1).

Ý Neka, na primjer, imamo kabel kod kojeg je omjer r / p = 4.7619*10^-8 s²m^-2. Neka mu je početna debljina d = 2x₀ = 1cm. Takav kabel u daljnjem tekstu zovimo superkabel. Kako izgleda njegov profil?

Ý Kabel ima maksimalnu debljinu u točki:

To je mjesto koje se nalazi 35790 km iznad ekvatora. Dakle, “trbuh” kabela je upravo na geostacionarnoj kružnici! Cijeli kabel je jedan jako izduženi geostacionarni satelit koji dopire do tla!

U formuli (10) ne pojavljuju se parametri p i r . Iz toga slijedi zaključak: bez obzira od kojeg je materijala napravljen kabel, mjesto maksimalne debljine uvijek se nalazi na geostacionarnoj kružnici. Položaj “trbuha” ili geostacionarne kružnice ovisi o masi, polumjeru i brzini rotacije nebeskog tijela.

Formulu (10) uvrstimo u (9) pa imamo:

Veličina K (za Zemlju) je 4.8448*10⁷ J/kg. Mjesto maksimalne debljine koje je 35 790 km udaljeno od tla nazovimo “točka B”.

Ý Gledajući profil kabela na prethodnoj slici, vidimo da se debljina najprije povećava, a zatim smanjuje težeći k nuli. Nađimo mjesto y na kojemu je debljina kabela ista kao i na tlu, ili matematički: x(y_D) = x₀ . Lako je naći da vrijednost y_D = 1.438*10⁸m zadovoljava taj uvjet.

To mjesto koje je od tla udaljeno 143 800 km nazovimo “ točka D ”.

Pod pojmom duljina kabela smatrajmo onu duljinu kada je kabel jednake debljine na oba kraja. Dakle, duljina kabela je 143 800 km (iako on može biti u stvarnosti kraći ili duži).

Ý Prema formulama (9) i (11), debljina kabela ovisi o omjeru gustoće i vlaka. Rezultat je fizikalno zanimljiv zbog toga što se taj omjer pojavljuje u eksponencijalnoj funkciji. Posljedica toga je da su profil, volumen i ukupna masa kabela ekstremno osjetljivi na omjer r /p. Za gradnju kabela potrebni su materijali kod kojih je taj omjer što je moguće manji.

Ý Sljedeća tablica pokazuje omjer maksimalne i početne debljine kabela za neke materijale (prikazani su podaci koje daje formula (11) za Zemlju i Mars):

Iz gornje tablice je vidljivo da korištenje čelika za gradnju kabela na Zemlji uistinu nema nikakvog smisla. Ostali materijali također ne dolaze u obzir, jer daju predebele profile, koji bi, zbog velike duljine kabela, imali ogromne mase.

Jedina nada ostaju nanocijevi (buckytube cable) kod kojih je taj omjer izuzetno povoljan za gradnju kabela. Međutim, do sada nisu napravljeni duži makroskopski uzorci, već se nanocijevi proizvode u mikroskopskim količinama. Zbog intezivnih istraživanja i razvoja na tom području, velika je vjerojatnost da će takav materijal biti dostupan u bliskoj budućnosti.

Ugljik za gradnju kabela jako je zastupljen u Svemiru, te ga ne bi bilo potrebno podizati sa Zemlje. Proizvodnja čistih kristala u visokom vakuumu i u uvjetima smanjene gravitacije imala bi velikih prednosti.

Ý Promatran iz točke A, cijeli kabel koji leži na sinkronoj osi statički je uravnotežen.

Duljina kabela može se smanjiti stavljanjem kompenzirajuće mase m_K na drugi kraj kabela. Ta masa kompenzira ostatak kabela, te mora zadovoljavati sljedeću formulu:

y je duljina kabela, a x je polumjer kabela na njegovom drugom kraju.

Pri tome mora biti ispunjen uvjet da je y > y_B . Kabel mora biti tolike dužine da prođe iza geostacionarne kružnice.

Zanimljivo je napomenuti da je Marsov satelit Deimos udaljen 20 000 km od površine Marsa, odnosno oko 3000 km iza Marsove geostacionarne kružnice. Ravnina kruženja otklonjena mu je za oko 2^o od Marsove ekvatorijalne ravnine. Materijal za kompenzirajuću masu bilo bi moguće uzimati sa Deimosa!

Ali, postoji smetnja! Drugi (veći) Marsov satelit Phobos kruži puno bliže Marsu, tj. na visini 5980 km iznad Marsova tla, a ravnina kruženja otklonjena mu je za oko 1^o. U određenim vremenskim intervalima Phobos bi udario u kabel! Moguće je rješenje i toga problema, što nije tema ovog članka.

Ý Izloženi fizikalni princip nameće sljedeću mogućnost primjene: dugački kabel koji leži na sinkronoj osi mogao bi se koristiti kao “pruga” po kojoj bi se u oba smjera mogao gibati koristan teret na velike udaljenosti. Bio bi to “most prema zvijezdama” ili svemirsko dizalo, koji bi imao velike prednosti u odnosu na klasični raketni pogon.

Kako odrediti težinu i masu korisnog tereta koji bi se gibao s površine Zemlje uvis po kabelu? Na to je pitanje lako odgovoriti: Maksimalna težina G_MAX korisnog tereta mora zadovoljavati ovu relaciju:

ali naravno da je uvijek ispunjen uvjet p < p_krit. Masa korisnog tereta je onda:

Iz relacije (3) slijedi da g(r) opada kako se udaljenost od tla povećava. Zbog toga se na većim visinama mogu podizati tereti većih masa.

Ý Zbog gibanja tereta na njega djeluje Coriolisova sila koja nastoji cijeli sustav izbaciti sa sinkrone osi. Pošto je masa cijelog dizala puno veća od mase tereta, a kabel cijelom svojom duljinom napet, Coriolisov efekt je skoro zanemariv. Male oscilacije dizala oko sinkrone osi koje bi se pojavile, mogu se eliminirati mijenjanjem brzine gibanja tereta uzduž kabela. To vrlo dugo centrifugalno njihalo je posebna tema za drugi članak. Ipak, važno je napomenuti da utjecaj Coriolisove sile ne bi doveo u pitanje projekt nebeskog dizala.

Neka, na primjer, na Zemlji imamo superkabel početne debljine 1 cm. Formula (14) daje maksimalnu masu tereta od 168 tona kojeg bi s tla mogli podići takvim superkabelom.

Ý Bilo bi zanimljivo izračunati ukupnu masu ovog vrlo dugog kabela. Elementarni volumen kabela računa se na sljedeći način:

 Veličine x(r) i k(r) određene su formulama (8) i (8a). Ukupni volumen dobiva se numeričkim integriranjem.

 Gravitacijsko djelovanje Mjeseca

Ý Mjesec djeluje na kabel i na kompenzirajuću masu. Zbog toga se u objesištu na tlu javlja dodatna sila koja nastoji još više zategnuti ili olabaviti kabel, u ovisnosti o tome s koje je strane Mjesec. Ovo je slično pojavi plime i oseke na moru. Dodatna sila koja zateže kabel kada je Mjesec iznad objesišta iznosi:

Uspoređujući sile F₁ i F₂ sa silom G_MAX (napetost kabela u objesištu), vidimo da je plimna smetnja Mjeseca vrlo slaba, te da ne može značajnije utjecati na stabilnost kabela. To naročito vrijedi za vrijednosti od r za koje funkcija F(r) ima minimum. Sličan zaključak vrijedi i za plimnu silu Sunca.

Ý Zbog mogućeg utjecaja na stabilnost konstrukcije koja se cijela nalazi na sinkronoj osi, potrebno je opisati širenje transverzalnog vala uzduž kabela. Masa kabela po jedinici duljine je

a napetost kabela je

 Iako se debljina kabela mijenja, transverzalni valovi šire se stalnom brzinom !

Druga kozmička brzina na sinkronoj osi

Ý Kako se tijelo penje uzduž kabela, njegova kinetička energija postaje sve veća. Na određenom mjestu na kabelu tijelo postiže brzinu oslobađanja. U tom slučaju je zbroj kinetičke i potencijalne energije jednak nuli:

odakle dobivamo da je r_C = 5.314*10⁷m , odnosno y_C = r_C – R = 46 770 km

Točku y_C na vlaknu nazovimo “točka C”. Odvajanjem od kabela na mjestu y > y_C , tijelo postaje slobodno od gravitacijskog djelovanja Zemlje.

 Klizanje tijela uzduž sinkrone osi

Ý Točka na sinkronoj osi y = y_B nalazi se na geostacionarnoj kružnici. Na tom mjestu izjednačene su gravitacijska i centrifugalna sila.

Na udaljenostima y < y_B preovladava gravitacijsko privlačenje, pa tijelo klizi prema Zemlji. Ako je pak y > y_B preovladava centrifugalna sila, pa se tijelo udaljava od Zemlje, klizeći po sinkronoj osi.

Točka y = y_B na geostacionarnoj kružnici je ravnotežni položaj, mjesto s kojeg tijela mogu klizati na jednu ili na drugu stranu po sinkronoj osi.

Ý Iz prije izloženog slijedi da energiju moramo trošiti samo pri gibanju tijela od tla do geostacionarne kružnice tj. do točke na sinkronoj osi za koju je y = y_B.. Nakon te točke više nije potrebno ulagati energiju. Tijelo se samo od sebe (bez pogona) ubrzava udaljavajući se od Zemlje. Dakle, usporavanjem toga tijela može se dobivati energija! Umjesto toplinske, mogli bi dobivati električnu energiju.

 Rad gravitacijske sile je negativan jer su sila i pomak u suprotnom smjeru:

Zanimljivo je napomenuti da se ovaj isti izraz pojavljuje u eksponentu od (9).

Ý Energetski gledano, kabel omogućuje besplatnu vožnju! Zbog usporedbe, lansiranjem tereta raketom moramo uložiti minimalno energiju od 62.5 MJ/kg ili 17.36 KWh/kg. Tolika je energija potrebna za oslobađanje od Zemlje.

Osim što je točka D energetski zanimljiva, napomenimo još da je u toj točki (prema (9) ) kabel jednake debljine kao i na tlu.

Ý U fizikalnom smislu sasvim bio bi moguć i kabel manje dužine, tzv. “lebdeći kabel”. Cijeli sustav bio bi jedan tanki, vrlo dugački geostacionarni satelit. Na oba njegova kraja nalaze se kompenzirajuće mase m₁ i m₂. Kabel ne bi dodirivao Zemlju, ali bi joj se jednim svojim krajem mogao proizvoljno približiti.

Vrijedit će skoro ista razmatranja kao pri izvodu jednadžbe (9). Ako je polumjer kabela na njegovom bližem kraju x₀ , onda je polumjer na bilo kojem mjestu:

Kompenzirajuće mase na jednom i drugom kraju moraju biti:

Veličine a i b su udaljenosti masa m₁ odnosno m₂ od središta Zemlje.

Manji omjer r /p omogućava veću dužinu kabela, tj. satelit se može više približiti tlu. Ipak, ovi su zahtjevi, zbog manje duljine, ublaženi u usporedbi s kabelom koje dodiruje Zemlju.

Ovakav sustav ne koristi Zemljinu rotacijsku energiju, te ne bi bio prikladan u funkciji podizanja tereta. To bi bio niskovisinski geostacionarni satelit, čija bi osnovna namjena bila poboljšanje telekomunikacija uz smanjenu snagu odašiljača.

Gornji fizikalni princip bi vrijedio i za druge vrlo duguljaste satelite koji nisu geostacionarni. Takvi rotirajući sustavi imali bi kompliciranu dinamiku, a zahtijevali bi dodavanje energije izvana, te nisu fizikalno zanimljivi.

Ý Prema ranije izloženim fizikalnim principima bio bi moguć kabel koji je jednim svojim krajem učvršćen za Mjesečevo tlo. Drugi kraj kabela bio bi stalno usmjeren prema Zemlji, ali je ne bi dodirivao. Akceleracija koja djeluje na element kabela je:

Istim postupkom kao pri izvodu jednadžbe (9) dobije se da je radijus kabela:

 Profil kabela s druge strane Mjeseca je opisan sljedećom jednadžbom: 

Ý Kompenzirajuća masa (umjetni satelit) bila bi velika. Iz svake točke na tom kabelu koja je na visini y >142 500 km bila bi vidljiva Zemlja. To bi omogućilo komunikaciju između Zemlje i druge strane Mjeseca. Veličine u formulama (27), (28) i (29) su:

Ý Najzahtjevnija zadaća u tehničkom smislu bilo bi podizanje i postavljanje prvog kabela na sinkronu os. Ideja je sljedeća:

1. Cijeli sustav u gradnji u svakom momentu mora biti geostacionarni satelit

3. Debljina kabela na oba kraja tijekom gradnje mora biti jednaka, iako se stalno mijenja

Tijekom gradnje sustav je “lebdeći” kabel (24) , sve dok ne dosegne Zemlju. Kompenzirajuće mase m₁ i m₂ su u stvari pokretna gradilišta koja se stalno razmiču kako se kabel gradi. Materijal za kabel doprema se na geostacionarnu kružnicu, a zatim duž kabela u dva suprotna smjera.

Duljina kabela tijekom gradnje ili razmak masa m₁ i m₂ , zbog uvjeta broj 3., mora u svakom momentu zadovoljavati sljedeću relaciju:

Veličina y je udaljenost mase m₁ (prvo pokretno gradilište) od tla.

Ý Tijekom gradnje kompenzirajuće mase na krajevima kabela mogu imati proizvoljnu vrijednost. Ipak, da bi uvjet br.1. bio ispunjen, omjer tih masa u svakom momentu mora biti:

Pri gradnji bi zbog Coriolisove sile došlo do zakreta cijelog sustava za određeni kut u ekvatorijalnoj ravnini, te bi kabel presjecao sinkronu os u točki na geostacionarnoj kružnici. Potrebni zakretni moment za poništavanje ovog efekta mogao bi se postići malim bočnim korekturnim silama na svakom kraju kabela. Tako bi ipak bio zadovoljen uvjet broj 2.

Ý Osnovna primjena jednadžbe (9) bila bi izgradnja nebeskog dizala. Najvažnija stvar za realizaciju takvog svjetskog projekta je (jeftina) proizvodnja materijala kod kojih je omjer r /p što je moguće manji. Taj materijal također mora zadovoljiti i ostale vrlo visoke zahtjeve.

Najveća barijera u tehničkom smislu i najzahtjevnija zadaća bilo bi podizanje i postavljanje prvog kabela na sinkronu os. Ostali sustavi, kojih bi na ekvatoru mogao biti veliki broj, gradili bi se jedan pomoću drugog. Takvi sustavi ili “nebeski autoputevi” bili bi radijalno raspoređeni oko ekvatora kao bodlje ježa. Bio bi to početak izgradnje geostacionarne kružnice kao objekta ili drugog čovjekovog doma. Taj "objekt" bio bi važna međustanica za put u svemir.

Ý Danas, dok za Internet uređujem ovaj članak, Božić je, 25. prosinca 2000. Projekt nebeskog dizala suviše je ambiciozan za ovo tisućljeće. Za sljedeće sigurno nije. Zbog toga se strpimo još koji dan!

REFERENCE:

[3] Jerome Pearson, "The orbital tower: a spacecraft launcher using the Earth's rotational energy," Acta Astronautica, Vol. 2, No. 9-10, September-October 1975, pp. 785-99.

[4] mailto:hpm@cmu.eduHans Moravec, A non-synchronous orbital skyhook. J. Astro Sci., 1977, 25, 307.

[5] Jerome Pearson, "Lunar Anchored Satellite Test", AIAA/AAS Astrodynamics Conference, Palo Alto, Ca., August 7-9, 1978, AIAA Paper 78-1427.

[6] Jerome Pearson, "Anchored Lunar Satellites for Cis-Lunar Transportation and Communication," European Conference on Space Settlements and Space Industries, London, England, September 20, 1977, also in Journal of the Astronautical Sciences 1978.

[7] Hans Moravec, "Cable Cars in the Sky", 1978.

[8] Arthur C. Clarke, "The Space Elevator: 'Thought Experiment', or Key to the Universe?," Earth Oriented Application of Space Technology, Vol. 1, 1981, pp. 39-48.

-David Tomanek's Nanotube Site.

-Web article: "From Fullerenes to Nanotubes".

 

Podaci u prva 3 stupca iz tablice 1 skupljeni iz:

-Dominic V. Rosato, Rosato's Plastics Encyclopedia and Dictionary, Hanser Publishers, Munich, 1993, p. 638.

-Alan S. Brown, "Spreading Spectrum of Reinforcing Fibers" Aerospace America, January 1989, pp. 14-18.

-CRC Handbook of Chemistry and Physics, 66th edition, page E-43.

-Theoretical buckytube cable data provided by Boris I. Yakobson (North Carolina State University, Department of Physics).

Skok na početak stranice